Question

已知P是直線3x＋4y＋8=0上的動點，PA、PB是圓的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為____________．

Answer 1

答案：略
解析：

將圓的一般方程配方化為標準方程，圓心C(1，1)，r=1．如圖所示． 解法一：從運動觀點看問題 當動點P沿直線3x＋4y＋8=0向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積越來越大，從而也越來越大；當P點從左上、右下兩個方向向中間運動時，變小．顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP⊥直線時，應(yīng)有惟一的最小值．此時， 從而， ∴． 解法二：利用等價轉(zhuǎn)化的思想 設(shè)P點坐標為(x，y)，則，由勾股定理及|AC|=1，得 =，從而 ， 從而欲求的最小值，只須求|PA|的最小值，即定點C(1，1)與直線上動點P(x，y)的距離的平方的最小值，它也就是點C(1，1)到直線3x＋4y＋8=0距離的平方，這個最小值． ∴． 解法三：利用函數(shù)的思想 將法二中中的y以3x＋4y＋8=0中解出代入關(guān)于x的一元函數(shù)，進而用配方法求最值，也可得．

提示：

首先要化簡圓的方程，弄清圓與直線的位置關(guān)系，然后可聯(lián)想平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合來解決．或者考慮建立關(guān)于面積的目標函數(shù)來求最值． 本題涉及直線與圓相切，利用數(shù)形結(jié)合、運動變化，等價轉(zhuǎn)化的思想以及配方法等有機的組合．