Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在圖甲中∵AB=BD且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD，
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD，
又∠DCB=90°，
∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴，
在圖甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得，，
∴，∴，
∴。