Question

15．a(chǎn)＞0，且2a²+b²=1，求a$\sqrt{1+b{\;}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 先求出1-a²＞0，將b²=1-2a²代入代數(shù)式a$\sqrt{1+b{\;}^{2}}$得到$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（1{-a}^{2}）}$，利用基本不等式的性質(zhì)，從而求出最大值．

解答 解：∵b²=1-2a²≥0，a＞0，
∴1-a²＞0，
∴a$\sqrt{1{+b}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}（1{+b}^{2}）}$
=$\sqrt{{a}^{2}{+a}^{2}（1-{2a}^{2}）}$
=$\sqrt{{2a}^{2}（1{-a}^{2}）}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（1{-a}^{2}）}$
≤$\sqrt{2}$•$\frac{{a}^{2}+1{-a}^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a²=1-a²時，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，“=”成立．

點評 本題考查了基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，將代數(shù)式a$\sqrt{1+b{\;}^{2}}$變形為$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（1{-a}^{2}）}$是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．