Question

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R，使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列命題為真命題的是    （寫出所有真命題對應的序號）．
①若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，則y=f（x）至少有1個零點；
②函數(shù)f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ=1；
③函數(shù)是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）；
④若函數(shù)f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數(shù)，則．

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，知f（x-2）=-2f（x），由此得到y(tǒng)=f（x）至少有1個零點；由f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故≠1；由是倍增函數(shù)，得∈（0，1）；由f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數(shù)，得．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，
∴f（x-2）=-2f（x），
當x=0時，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一個為0，函數(shù)f（x）有零點．
若f（0），f（-2）均不為零，則f（0），f（-2）異號，
由零點存在定理，在（-2，0）區(qū)間存在x，f（x）=0，
即y=f（x）至少有1個零點，故①正確；
∵f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴≠1，故②不正確；
∵是倍增函數(shù)，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴，
∴∈（0，1），故③正確；
∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數(shù)，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），
∴．故④正確．
故答案為：①③④．
點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．