Question

數(shù)列{a_n}中，S₁=1，S₂=2，S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），求數(shù)列的通項a_n以及數(shù)列前n項和S_n．

Answer 1

分析：求的是數(shù)列的通項公式條件是數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，由所以由兩者間的關(guān)系求解，要注意分類討論．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}中，S₁=1，S₂=2，S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），
∴a₁=1，a₂=1，且 S_n+1-S_n-2S_n+2S_n-1=0（n∈N^*且n≥2），
即（S_n+1-S_n）-2（S_n-S_n-1）=0（n∈N^*且n≥2），
∴a_n+1=2a_n（n∈N^*且n≥2），故數(shù)列{a_n}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列{a_n}的通項公式為  a_n=

1 ，   n=1 2n-2 ，  n≥2

．
當(dāng)n=1時，S_n =1．當(dāng)n≥2時，S_n =1+

1×(1-2n-1)

1-2

=2^n-1．
綜上可得 S_n =2^n-1．

點評：本題主要考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．