Question

如圖，函數(shù)y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的圖象與y軸交于點（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）若x∈[0，1]，求函數(shù)y=2sin（πx+φ）的最值，及取得最值時x的值；
（3）設P是圖象上的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，求

PM

與

PN

的夾角．的余弦值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）把點（0，1）代入解析式，根據(jù)φ的范圍和特殊角的正弦值求出φ；
（2）由（1）得解析式，根據(jù)x的范圍求出πx+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，根據(jù)正弦函數(shù)的性質求出函數(shù)的最大值、最小值及對應的x的值；
（3）根據(jù)解析式求出周期，再結合圖象求出點M、P、N的坐標，再向量的坐標運算求出

PM

與

PN

的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，求出

PM

與

PN

的夾角的余弦值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)的圖象過點（0，1），∴2sinφ=1，即sinφ=

1

2

，
又∵0≤φ≤

π

2

，∴φ=

π

6

，
（2）由（1）得，y=2sin(πx+

π

6

)，
由x∈[0，1]得，πx+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
當πx+

π

6

=

π

2

時，即x=

1

3

時，函數(shù)取到最大值是2，
當πx+

π

6

=

7π

6

時，即x=1時，函數(shù)取到最小值是-1，
（3）設

PM

與

PN

的夾角為θ，
由題意知，函數(shù)y=2sin(πx+

π

6

)的周期是2，
則P（

1

3

，2），M（-

1

6

，0），N（

5

6

，0），
則

PM

=（-

1

2

，-2），

PN

=（

1

2

，-2），
∴cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

- 1 4 +4

1 4 +4× 1 4 +4

=

15

17

．

點評：本題考查由圖象確定符合三角函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的性質，以及向量的坐標運算，由數(shù)量積的坐標運算求出向量夾角愛哦的余弦值等，比較綜合．