Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)知由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2）．兩式相減后可化成a_n+1-1=-（a_n-1），由此得出數(shù)列{a_n-1}是以1為首項，-為公比的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）先由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-）^n-1+1]-λ-n²=λ（-）^n-1-n²．由題意得b_2n-1＞b_2n，可得出λ＞-．最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），
兩式相減得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）
∴a_n+1=-a_n+，則a_n+1-1=-（a_n-1），（4分）
由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=，則，
故數(shù)列{a_n-1}是以1為首項，-為公比的等比數(shù)列．
則a_n-1=（a₁-1）（-）^n-1，
∴a_n=（-）^n-1+1，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-）^n-1+1]-λ-n²=λ（-）^n-1-n²．
由題意得b_2n-1＞b_2n，則有λ（-）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-）^2n-1-（2n）²，
即λ（-）^2n-2[1-（-）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-，（10分）
而-對于n∈N^*時單調(diào)遞減，則-的最大值為-=-2，
故λ＞-2．（12分）
點評：本題的考點是數(shù)列與不等式的綜合，主要考查迭代法求數(shù)列通項公式的方法，考查最值法解決恒成立問題，關(guān)鍵是寫出兩式，作差化簡，構(gòu)建等比數(shù)列．