Question

【題目】（1）若函數(shù)的圖象在處的切線垂直于直線，求實數(shù)的值及直線的方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1） , ；（2）當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出的值，從而求出函數(shù)的切點，點斜式求出切線方程即可；（2）求出，分別令 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（3）由時， ，在上單調(diào)遞減，得到，從而證明結(jié)論.

試題解析：（1）∵（），定義域為，∴

∴函數(shù)的圖象在處的切線的斜率

∵切線垂直于直線，∴，∴

∴， ，∴切點為

∴切線的方程為，即.

（2）由（1）知： ，

當(dāng)時， ，此時的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時，

若，則；若，則

此時的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

綜上所述：

當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）由（2）知：當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減

∴時，

∴時， ，即.