Question

22.已知函數(shù)f（x）=e^－x（cosx+sinx）,將滿足f′（x）=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列｛x_n｝.

（Ⅰ）證明數(shù)列｛f（x_n）｝為等比數(shù)列;

（Ⅱ）記S_n是數(shù)列｛x_nf（x_n）｝的前n項和,求.

Answer 1

22.本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)的性質(zhì),等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念和性質(zhì),以及綜合運用的能力.

（Ⅰ）證明：f′（x）=－e^－x（cosx+sinx）+e^－x（－sinx+cosx）=－2e^－xsinx,

由f′（x）=0,即－2e^－xsinx=0,

解得x=n,n為整數(shù).從而x_n=n,n=1,2,3…

f（x_n）=（－1）ⁿ.

=－e^－π.

所以數(shù)列｛f（x_n）｝是公比q=－的等比數(shù)列,且首項f（x₁）=q.

（Ⅱ）解：S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）+…+x_nf（x_n）

=πq（1+2q+…+nq^n－1）,

qS_n=q（q+2q²+…+nqⁿ）,

S_n－qS_n=q（1+q+…+q^n－1－nqⁿ）

 =q（－nqⁿ）,

從而S_n=（－nqⁿ）.

=－（1+q+…+q^n－1）－（1+2q+…+nq^n－1）

=－－（－nqⁿ）

=－（1－qⁿ）+.

因為||=e^－x＜1,ⁿ=0，所以

==.