Question

對(duì)于數(shù)集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量的集合Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若對(duì)任意

a

₁∈Y，存在

a

₂∈Y，使得

a

_l•

a

₂=0，則稱X具有性質(zhì)P．例如{-1，1，2}具有性質(zhì)P．若X具有性質(zhì)P，且x₁=1，x₂=q（q為常數(shù)），則有窮數(shù)列x₁，x₂，…，x_n的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A、xi=qi-1，i=1，2，…，n
• B、xi=1+(i-1)(q-1)i-1，i=1，2，…，n
• C、x_i=1+（i-1）q，i=1，2，…，n
• D、xi=

  q-2

  2

  i2+

  4-q

  2

  i，i=1，2，…n

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n．先證明若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．再利用“數(shù)學(xué)歸納法”證明即可；
解法二：設(shè)

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），則

a1

•

a2

=0等價(jià)于

s1

t1

=-

t2

s2

．記B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，數(shù)集X具有性質(zhì)P?數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個(gè)數(shù)．B∩（0，+∞）也有n-1個(gè)數(shù)．證明即可．

解答： 解：解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先證明若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．
任取

a1

=（s，t），s、t∈A_k，當(dāng)s、t中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有

a2

滿足

a1

•

a2

=0．
當(dāng)s、t中都不是-1時(shí)，滿足s≥1且t≥1．
∵A_k+1具有性質(zhì)P，∴有

a2

=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得

a1

•

a2

=0．從而s₁、t₁其中有一個(gè)為-1．
不妨設(shè)s₁=-1，
假設(shè)t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，則t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，與s∈A_k矛盾．
∴t₁∈A_k，從而A_k也具有性質(zhì)P．
再用數(shù)學(xué)歸納法，證明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，則x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
當(dāng)n=k+1時(shí)，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性質(zhì)P，則A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，
∴A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取

a1

=（x_k+1，q），并設(shè)

a2

=（s，t）∈Y，滿足

a1

•

a2

=0．，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，則x_k+1=

q

s

＜q，不可能．
∴s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1≥q^k-1，
因此x_k+1=q^k．
綜上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．
解法二：設(shè)

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），則

a1

•

a2

=0等價(jià)于

s1

t1

=-

t2

s2

．
記B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個(gè)數(shù)．
所以B∩（0，+∞）也有n-1個(gè)數(shù)．
由于

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，已經(jīng)有n-1個(gè)數(shù)
對(duì)以下三角形數(shù)陣：

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，

xn-1

xn-2

＜

xn-1

xn-3

＜…＜

xn-1

x1

，
                 …

x3

x2

＜

x3

x1

，

x2

x1

．
注意到

xn

x1

＞

xn-2

x1

＞…＞

x2

x1

，所以

xn

xn-1

=

xn-1

xn-2

=…=

x2

x1

．
從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是x_k=x₁•（

x2

x1

）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、數(shù)學(xué)歸納法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法，考查了較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．