Question

已知四棱臺上，下底面對應邊分別是a，b，試求其中截面把此棱臺側(cè)面分成的兩部分面積之比

S上

S下

=

3a+b

a+3b

．

Answer 1

分析：設(shè)A₁B₁C₁D₁是棱臺ABCD-A₂B₂C₂D₂的中截面，延長各側(cè)棱交于P點，根據(jù)兩個棱臺的側(cè)高相等，而兩部分面積之比，即為棱臺上下底面周長和之比，由此分別計算上下兩部分的各側(cè)面面積，可得答案．

解答：解：設(shè)A₁B₁C₁D₁是棱臺ABCD-A₂B₂C₂D₂的中截面，延長各側(cè)棱交于P點．
∵BC=a，B₂C₂=b
∴B1C1=

a+b

2

∴BC∥B₁C₁
∴

S△PBC

S△PB1C1

=

a2

( a+b 2 )2

∴S △PB1C1=

(a+b)2

4a2

•S△PBC
同理S △PB2C2=

b2

c2

•S△PBC
∴

SB1C1CB

SB2C2C1B1

=

(a+b)2 4a2 -1

b2 a2 - (a+b)2 4a2

=

b2+2ab-3a2

3b2-2ab-a2

=

(b+3a)(b-a)

(3b+a)(b-a)

=

b+3a

3b+a

同理：

SABB1A1

SA1B1B2A1

=

SDCC1D1

SD1C1C2D2

=

SADD1A1

SA1D1D2A1

=

b+3a

3b+a

由等比定理，得

S上

S下

=

3a+b

a+3b

故答案為：

3a+b

a+3b

點評：本題考查的知識點是棱臺的幾何特征，棱臺的側(cè)面積，其中熟練掌握棱臺的幾何特征是解答的關(guān)鍵．