Question

如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且。

（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）求證：AC⊥BE；

（Ⅲ）三棱錐的體積是否為定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由（棱錐的體積）。

Answer 1

（Ⅰ）證明：在正方體中，

因?yàn)?sub>∥BD，所以EF∥BD，

因?yàn)?sub>平面ABCD，平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD。                     3分

（Ⅱ）證明：在正方體中，

因?yàn)?sub>⊥平面ABCD，所以，

又因?yàn)锳BCD為正方形，所以BD⊥AC，

，所以AC⊥平面。

而平面。所以AC⊥BE。          6分

（Ⅲ）三棱錐的體積是定值。

設(shè)交于點(diǎn)O，由（Ⅱ）可知，AO⊥平面BEF，且。

。      9分