Question

【題目】設(shè).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是否存在一實(shí)數(shù)，使成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，見解析

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，求得切點(diǎn)，得到曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程點(diǎn)斜式求解；

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，在存在一點(diǎn)，使成立，則只需證明時(shí)，即可.利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上遞減，在上遞增，則.于是，只需證明或即可.然后證明成立，可得當(dāng)時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)，使成立.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴切點(diǎn)為，

又∵.

∴曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.

∴所求切線方程為，即；

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，在存在一點(diǎn)，使成立，

則只需證明時(shí)，即可.

，

令得，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

函數(shù)在上遞減，在上遞增，

∴.

于是，只需證明或f（）>e-1即可.

∵.

∴成立.

∴假設(shè)正確，即當(dāng)時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)，使成立.