Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N^*，證明：

n

k=1

(

k

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)為x=0，f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值
（2）由{x|0≤x≤2}⊆P可知將題目轉(zhuǎn)化成f（x）＞ax在（0，2）上恒成立，利用參數(shù)分離法變形為a＜

ex

x

-1，求出g (x)=

ex

x

-1的最小值即可
（3）由（Ⅰ）得，對(duì)于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x=-

i

n

(n∈N*，i=1，2，，n-1)便可得到不等關(guān)系，將n項(xiàng)求和可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x-1．
令f'（x）＞0，解得x＞0；令f'（x）＜0，解得x＜0．
從而f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）解：因?yàn)椴坏仁絝（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以對(duì)于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立．
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
當(dāng)x=0時(shí)，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況．
將（a+1）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1，
令g (x)=

ex

x

-1，則g（x）的導(dǎo)數(shù)g′ (x)=

(x-1)ex

x2

，
令g'（x）＞0，解得x＞1；令g'（x）＜0，解得x＜1．
從而g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值e-1，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1）．
（Ⅲ）證明：
由（Ⅰ）得，對(duì)于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令x=-

i

n

(n∈N*，i=1，2，，n-1)，則0＜1-

i

n

＜e-

i

n

．∴(1-

i

n

)n＜(e-

i

n

)n=e-i（i=1，2，，n-1），
即(

n-i

n

)n＜e-i（i=1，2，，n-1）．∴

n

k=1

(

k

n

)n=(

1

n

)n+(

2

n

)n++(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜e-(n-1)+e-(n-2)++e-1+1．∵e-(n-1)+e-(n-2)++e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，∴

n

k=1

(

k

n

)n＜

e

e-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，以及不等式的證明．