Question

10．若非零函數(shù)f（x）對任意實數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且當(dāng)x＜0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）＞0對一切實數(shù)x∈R都成立；
（3）當(dāng)f（4）=$\frac{1}{16}$時，解不等式f（x-3）•f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=f²（0），f（0）≠0，求f（0）的值；
（2）f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$），結(jié)合函數(shù)f（x）為非零函數(shù)可得；
（3）證明f（x）為減函數(shù)，由f（4）=f²（2）=$\frac{1}{16}$，則f（2）=$\frac{1}{4}$，從而化簡不等式f（x-3）•f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$為f（x-3+5-x²）≤f（2），從而利用單調(diào)性求解．

解答 （1）解：∵f（0）=f²（0），f（0）≠0，∴f（0）=1，
（2）證明：∵f（$\frac{x}{2}$）≠0，
∴f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0．
（3）解：f（b-b）=f（b）•f（-b）=1；
∴f（-b）=$\frac{1}{f（b）}$；
任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，
又∵f（x）＞0恒成立，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）為減函數(shù)；
由f（4）=f²（2）=$\frac{1}{16}$，則f（2）=$\frac{1}{4}$，
原不等式轉(zhuǎn)化為f（x-3+5-x²）≤f（2），
結(jié)合（2）得：x+2-x²≥2，
∴0≤x≤1，
故不等式的解集為{x|0≤x≤1}．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．