Question

某汽車生產企業(yè)上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛,年銷售量為5 000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產品檔次,適當增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1),則出廠價相應提高的比例為0.7x,年銷售量也相應增加.已知年利潤=(每輛車的出廠價-每輛車的投入成本)×年銷售量.

(1)若年銷售量增加的比例為0.4x,為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

(2)年銷售量關于x的函數為y=3 240(-x²+2x+),則當x為何值時,本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

解:(1)由題意得上年度的利潤為(13-10)×5 000=15 000萬元;

本年度每輛車的投入成本為10×(1+x);本年度每輛車的出廠價為13×(1+0.7x);

本年度年銷售量為5 000×(1+0.4x),2分因此本年度的利潤為

y=［13×(1+0.7x)-10×(1+x)］×5 000×(1+0.4x)

=(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x)

=-1 800x²+1 500x+15 000(0＜x＜1),

由-1 800x²+1 500x+15 000＞15 000,解得0＜x＜,

∴當0＜x＜時,本年度的年利潤比上年度有所增加.

(2)本年度的利潤為

f(x)=(3-0.9x)×3 240×(-x²+2x+)=3 240×(0.9x³-4.8x²+4.5x+5).

則f′(x)=3 240×(2.7x²-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),

由f′(x)=0,解得x=或x=3,

當x∈(0,)時,f′(x)＞0,f(x)是增函數;

當x∈(,1)時,f′(x)＜0,f(x)是減函數.

∴當x=時,f(x)取極大值f()=20 000萬元.

∵f(x)在(0,1)上只有一個極大值,∴它是最大值.

∴當x=時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20 000萬元.