Question

某公司生產一種硬紙片包裝盒，如圖，把正方形ABCD切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，沿虛線折起使ABCD四個點重合，形成如圖所示的正四棱柱包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AB=40cm，AE=xcm

（1）要使包裝盒側面積S（cm²）最大，則x應取何值？
（2）要使包裝盒容積V（cm³）最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）可設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），寫出a，h與x的關系式，并注明x的取值范圍．再利用側面積公式表示出包裝盒側面積S關于x的函數(shù)解析式，最后求出何時它取得最大值即可；
（2）利用體積公式表示出包裝盒容積V關于x的函數(shù)解析式，最后利用導數(shù)知識求出何時它取得的最大值即可．

解答： 解：（1）設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），
由已知得a=

2

x，h=

40-2x

2

=

2

(20-x)，0＜x＜20．…（3分）（不寫定義域扣1分）
S=4ah=8x（20-x）=-8（x-10）²+800…（5分）
所以當x=10時，S取得最大值．…（6分）
（2）V=a2h=2x2•

40-2x

2

=2

2

(20x2-x3)…（8分）
V′=2

2

(40x-3x2)=2

2

x(40-3x)…（9分）
由V′=0得x=0（舍）或x=

40

3

當x∈(0，

40

3

)時V'＞0，當x∈(

40

3

，20)時V'＜0
所以當x=

40

3

時，V取得極大值，也是最大值．…（11分）
此時

h

a

=

1

2

，即包裝盒的高與底面邊長的比值為

1

2

．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力．屬于中檔題．