Question

（本題滿分15分）

已知點(diǎn)，，在拋物線（）上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合（如圖）

⑴寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶求所在直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)在拋物線上，有，

解得.

所以拋物線方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.                                   ……5分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511544598111787/SYS201307051155347300868057_DA.files/image010.png">的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合，

所以根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得，解得，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.                                          ……10分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511544598111787/SYS201307051155347300868057_DA.files/image014.png">，在拋物線上，

所以，，兩式作差可得：，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511544598111787/SYS201307051155347300868057_DA.files/image020.png">，所以，即直線的斜率

因此所在直線的方程為：                                           ……15分

考點(diǎn)：本小題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、重心坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：遇到弦的中點(diǎn)問題，常常想到的方法是用點(diǎn)差法求弦所在直線的斜率.