Question

6．若實數(shù)x₀滿足p（x₀）=x₀，則稱x=x₀為函數(shù)p（x）的不動點．
（1）求函數(shù)f（x）=lnx+1的不動點；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+3，其中a，b，c為實數(shù)．
①若a=0時，存在一個實數(shù)${x_0}∈[\frac{1}{2}，2]$，使得x=x₀既是g（x）的不動點，又是g'（x）的不動點（g'（x）是函數(shù)g（x）的導函數(shù)），求實數(shù)b的取值范圍；
②令h（x）=g'（x）（a≠0），若存在實數(shù)m，使m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，求證：函數(shù)h（x）存在不動點．

Answer 1

分析 （1）由題意可知lnx+1=x，令φ（x）=lnx-x+1，然后利用導數(shù)求其極值，可得x=1時函數(shù)有唯一極大值0，得到函數(shù)f（x）=lnx+1的不動點為x=1；
（2）①由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{b{{x}_{0}}^{2}+c{x}_{0}+3={x}_{0}}\\{2b{x}_{0}+c={x}_{0}}\end{array}\right.$，得到$b=\frac{3}{{{x}_{0}}^{2}}-\frac{1}{{x}_{0}}+1$，再由x₀的范圍求得b的范圍．
②令h（x）=g'（x）=3ax²+2bx+c．由題意知，m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為方程h（x）=qx有三個根m，h（m），h（h（m）），然后對二次方程h（x）=qx的根進行討論，可得函數(shù)h（x）存在不動點．

解答 （1）解：由題意可知lnx+1=x，令φ（x）=lnx-x+1，
則φ′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，當x∈（0，1）時，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)，∴φ（x）先增后減，有極大值為φ（1）=0．
∴函數(shù)f（x）=lnx+1的不動點為x=1；
（2）①解：由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{b{{x}_{0}}^{2}+c{x}_{0}+3={x}_{0}}\\{2b{x}_{0}+c={x}_{0}}\end{array}\right.$，消去c，
得$b=\frac{3}{{{x}_{0}}^{2}}-\frac{1}{{x}_{0}}+1$，x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，∴b∈[$\frac{5}{4}，11$]．
②證明：h（x）=g'（x）=3ax²+2bx+c．
由題意知，m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，
故可設(shè)公比為q，則$\left\{\begin{array}{l}{h（m）=qm}\\{h（h（m））=qh（m）}\\{h（h（h（m）））=qh（h（m））}\end{array}\right.$，故方程h（x）=qx有三個根m，h（m），h（h（m）），
又∵a≠0，∴h（x）=g'（x）=3ax²+2bx+c 為二次函數(shù)，
故方程h（x）=qx為二次方程，最多有兩個不等根，則m，h（m），h（h（m））中至少有兩個值相等．
當h（m）=m時，方程h（x）=x有實數(shù)根m，也即函數(shù)h（x）存在不動點，符合題意；
當h（h（m））=m時，則qh（m）=m，q²m=m，故q²=1，又各項均為正數(shù)，則q=1，即h（m）=m，
同上，函數(shù)h（x）存在不動點，符合題意；
當h（h（m））=h（m）時，則qh（m）=qm，h（m）=m，同上，函數(shù)h（x）存在不動點，符合題意．
綜上所述，函數(shù)h（x）存在不動點．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查邏輯思維能力與推理運算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，屬難題．