Question

已知曲線C₁，C₂的極坐標方程分別為ρ=4cos（θ+

π

6

）和ρcos（θ+

π

6

）=5．
（1）將C₁，C₂的方程化為直角坐標方程；
（2）設點P在曲線C₁上，點Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用兩角和的余弦公式展開，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）求出圓心到直線的距離d，再利用d-r即可得出．

解答： 解：（1）由ρ=4cos(θ+

π

6

)得ρ=4(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)，ρ2=4(

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ)，
∴C₁的直角坐標方程為x2+y2-2

3

x+2y=0．
由ρcos(θ+

π

6

)=4得ρ(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)=5，
∴C₁的直角坐標方程為

3

x-y-10=0．
（2）曲線C₁是圓，標準方程為(x-

3

)2+(y+1)2=4，
圓心C1(

3

，-1)，半徑r=2，
圓心C1(

3

，-1)到直線

3

x-y-10=0的距離d=

| 3 × 3 -(-1)-10|

3+1

=3，
|PQ|的最小值為d-r=1．

點評：本題考查了兩角和的余弦公式、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．