Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x₁（x₁＞0），過(guò)點(diǎn)A作拋物線C的切線l₁交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)Q，交直線l：y=于點(diǎn)M，當(dāng)|FD|=2時(shí)，∠AFD=60°．
（Ⅰ）求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上，過(guò)點(diǎn)B作拋物線C的切線l₂交直線l₁于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時(shí)的x₁值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)A的坐標(biāo)，可得切線AD的方程，從而可得D、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得|FQ|=|FA|，即△AFQ為等腰三角形，且D為AQ的中點(diǎn)，利用|DF|=2，∠AFD=60°，即可求拋物線方程；
（II）求出B處的切線方程，與切線AD的方程聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)，求出M，N的坐標(biāo)，可得△PMN面積，設(shè)AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)面積表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求面積的最小值，從而可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），則切線AD的方程為，所以D（，0），Q（0，-y₁）
∴|FQ|=，|FA|=，∴|FQ|=|FA|，∴△AFQ為等腰三角形，且D為AQ的中點(diǎn)
∴DF⊥AQ
∵|DF|=2，∠AFD=60°
∴∠QFD=60°，=1
∴p=2
∴拋物線方程為x²=4y；
（II）解：設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0），則B處的切線方程為，與聯(lián)立，可得P（，）
由，可得M（，1）
同理N（，1），所以面積S=[（）-（）]（1-）=…①
設(shè)AB的方程為y=kx+b，則b＞0
由，消去y可得x²-4kx-4b=0，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b代入①得：
S==，要使面積最小，則k=0得到S=②
令，②得S（t）==，S′（t）=，
所以當(dāng)t∈（0，）時(shí)，S（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（，+∞）時(shí)，S（t）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t=時(shí)，S取到最小值為，此時(shí)，k=0，
所以，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．