Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n．?dāng)?shù)列{b_n}中，b₁=1，它的第n項b_n是數(shù)列{a_n}的第b_n-1項（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）若對任意的n∈N^*，不等式

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

＜m²-m+1恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）依題意n≥2時，b_n=a bn-1=2b_n-1+1，從而{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出b_n．
（3）由

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，結(jié)合已知條件得m²-m+1≥1，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n，
∴a₁=S₁=1+2=3，
a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，n≥2，
n=1時，上式成立，
∴a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）依題意，n≥2時，b_n=a bn-1=2b_n-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1．
（3）∵b_n=2ⁿ-1，
∴

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
∵不等式

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

＜m²-m+1恒成立，
∴m²-m+1≥1，解得0≤m≤1．
∴m的取值范圍是[0，1]．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，