Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線與直線x+3y+2=0垂直，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值是6．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，從而可求f（x）解析式，模擬運(yùn)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值，當(dāng)S=$\frac{6}{7}$時，滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，退出循環(huán)，輸出k的值為6，從而得解．

解答 解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y=f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
∵函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，
∴（2-a）×（-$\frac{1}{3}$）=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x²+x，從而模擬程序運(yùn)行，可得
S=0，k=0
不滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，k=1，S=$\frac{1}{2}$
不滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，k=2，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$
不滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，k=3，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$
不滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，k=4，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$
不滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，k=5，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$
不滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，k=6，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$=$\frac{6}{7}$
滿足條件S＞$\frac{5}{6}$，退出循環(huán)，輸出k的值為6．
故答案為：6．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點處的切線方程，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線垂直的性質(zhì)等知識點，還考查了程序框圖和算法，考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于基本知識的考查．