Question

定義F（x，y）= y^x  （x>0，y>0）．

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（n）=  （n∈N*），求函數(shù)f（n）的最小值；

（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式F（2，x a -1）≤（a -1）²；

（Ⅲ）設(shè)g（x）=F（x,2），正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，g（a _n+1）= ，求數(shù)列{ a_n}

的通項(xiàng)公式，并求所有可能的乘積a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）f（n）= ,

因?yàn)?n²-（n+1）²=（n-1）²-2，

當(dāng)n≥3時(shí)，（n-1）²-2>0，所以當(dāng)n≥3時(shí)f（n+1）>f（n）；

當(dāng)，n<3時(shí)，（n-1）²-2<O，所以當(dāng)n<3時(shí)f（n+1）<f（n）．

所以當(dāng)n=3時(shí)f（n）取到最小值為f（3）=

（Ⅱ）原不等式等價(jià)于不等式組即

（i）當(dāng)a>1時(shí)，2<a+1<2a，原不等式的解集是{x|a+1<x≤2a}．

（ii）當(dāng)a=l時(shí)，2a=a+1=2，原不等式的解集是空集．

（iii）當(dāng)a<1時(shí)，2a<a+1<2，原不等式的解集為{x|a+1<x≤2}．

綜上，a>1時(shí)，原不等式的解集是（a+1，2a）；a=1時(shí)，原不等式的解集是；

a<l時(shí)，原不等式的解集是（a+1，2）．

（Ⅲ）因?yàn)?i>g（x）=2^x,所以g（a_n+1）= ,又g（a_n+1）= = ,

所以a_n+1=3a_n.又a₁=3, 所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=3，公比為3的等比數(shù)列，

所以a_n=3?3 ^n-1=3 ⁿ.

記數(shù)列{3 ⁿ}的所有可能的乘積（1≤i≤j≤n）的和為S，則

S=a₁?a₁+（a₁+a₂） ?a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n） ?a_n

= 3?3¹+（3+3²） ?3²+…+（3+3²+…+3ⁿ） ?3ⁿ

=

= +

=

=

解法二：（Ⅰ）由f（n）= ，計(jì)算得：

n	1	2	3	4	5	……
f(n)	2	1		1

據(jù)此猜想n=3時(shí),f（n）取到最小值．

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明n≥5時(shí),n²<2 ⁿ成立．

（i）當(dāng)n=5時(shí)，5²<2 ⁵，不等式成立．

（ii）假設(shè)n=k（k≥5）時(shí)不等式成立，即k²>2 ^k

那么2^k+1=2 ^k ?2>k² ?2 ,

因?yàn)?i>k≥5,所以2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2>0.

所以2^k+1>（k+1）².即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．

根據(jù)（i）和（ii）所述，對(duì)于所有n≥5，n∈N ^*，n²<2 ⁿ都成立．

結(jié)合上表可知猜想正確，即當(dāng)n=3時(shí)f（n）取到最小值為f（3）=.

（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）同解法一，得a_n=3ⁿ.

由a_i?a_j=3ⁱ?3^j=3^i+j  （1≤i≤j≤n），列表如下：

記數(shù)列{3ⁿ}的所有可能的乘積（1≤i≤j≤n）的和為S，將這個(gè)“上三角形”表繞“對(duì)角線”對(duì)稱地填在“下三角形”中，得到正方形數(shù)表：

記第一行的和為S₁，那么2S一（3²+3⁴+3⁶+…+3²ⁿ）=S₁（1+3+3²+…+3^n-1）.

所以2S =（3 ⁿ-1）（1+3+3²+…+3 ^n-1）+（9 ⁿ -1）,

所以S =

解法三：（Ⅰ）因?yàn)?i>f（n）= ,設(shè)

由，

所以當(dāng)時(shí)，<0，所以，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，>0，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增。

所以f（n）= 的最小值只可能在n=2或n=3處取到，

注意到f（2）=1,f（3）=,所以當(dāng)n=3時(shí),f（n）取到最小值為 f（3）=.

（Ⅱ）、（Ⅲ）同解法一．

解法四：（Ⅰ）同解法二，猜想n=3時(shí), f（n）取到最小值．

證明如下：當(dāng)n≥5時(shí)，

因?yàn)?i>n≥5時(shí)，n-2≥3，

所以≥=1.

結(jié)合上表可知猜想正確，即當(dāng)n=3時(shí),f（n）取到最小值為f（3）= .

（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一。