Question

若函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象和直線y=x無交點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①方程f[f（x）]=x一定沒有實(shí)數(shù)根；
②若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
③若a+b+c=O，則不等式f[f（x）]＜x對一切實(shí)數(shù)x都成立；
④函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．進(jìn)而逐一由此判斷題設(shè)中的四個命題的真假即可得到答案．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因?yàn)閒[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實(shí)數(shù)根；
故①正確；
若a＜0，則不等式f[f（x）]＜x對一切實(shí)數(shù)x都成立，所以不存在x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
故②錯誤；
若a+b+c=0，則f（1）=0＜1，可得a＜0，因此不等式f[f（x）]＜x對一切實(shí)數(shù)x都成立；
故③正確；
易見函數(shù)g（x）=f（-x），與f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g（x）和直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)．
故④正確；
故選C．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中根據(jù)已知得到f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立是解答本題的關(guān)鍵．