Question

7．已知函數(shù)y=x²-2tx+1，若-1≤x≤1，求y的最大、最小值．

Answer 1

分析 二次函數(shù)y=f（x）=（x-t）²+1-t²，分當(dāng)t≤-1時(shí)、當(dāng)-1＜t≤0時(shí)、當(dāng)0≤t＜1時(shí)、當(dāng)t≥1時(shí)，四種情況分別求得函數(shù)的最值．

解答 解：∵二次函數(shù)y=f（x）=x²-2tx+1=（x-t）²+1-t²，-1≤x≤1，
∴當(dāng)t≤-1時(shí)，函數(shù)y在[-1，1]上是增函數(shù)，最小值為f（-1）=2+2t，最大值為 f（1）=2-2t．
當(dāng)-1＜t≤0時(shí)，函數(shù)y在[-1，1]上，函數(shù)的最小值為f（t）=1-t²，最大值為 f（1）=2-2t．
當(dāng)0≤t＜1時(shí)，函數(shù)y在[-1，1]上，函數(shù)的最小值為f（t）=1-t²，最大值為 f（-1）=1+2t．
當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)y在[-1，1]上單調(diào)遞減，函數(shù)的最小值為f（1）=1-2t，最大值為 f（-1）=2+2t．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．