Question

設數列{a_n}是首項為6，公差為1的等差數列；S_n為數列{b_n}的前n項和，且S_n=n²+2n
（1）求{a_n}及{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）若對任意的正整數n，不等式

a

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

1

n-2+an

≤0恒成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n=a₁+（n-1）d=6+n-1=n+5
又當n=1時，b₁=S₁=3；
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1
上式對n=1也成立，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），總之，a_n=n+5，b_n=2n+1
（2）將不等式變形并把a_n=n+5代入得：a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)，g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)
∴g(n+1)=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn+1

)
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)=

2n+3

2n+5

•

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 2n+3

又∵

(2n+5)(2n+3)

＜

(2n+5)+(2n+3)

2

=2n+4
∴

g(n+1)

g(n)

＞1，即g（n+1）＞g（n）
∴g（n）隨n的增大而增大，g(n)min=g(1)=

1

5

(1+

1

3

)=

4 5

15

，
∴0＜a≤

4 5

15