Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C₁：x=-2，圓C₂：（x-1）²+（y-2）²=1，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線C₃的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），設(shè)C₂與C₃的交點為M，N，求△C₂MN的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C₁，C₂的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線C₃的極坐標(biāo)方程代入ρ²-3$\sqrt{2}$ρ+4=0，求得ρ₁和ρ₂的值，結(jié)合圓的半徑可得C₂M⊥C₂N，從而求得△C₂MN的面積$\frac{1}{2}$•C₂M•C₂N的值．

解答 解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C₁：x=-2 的
極坐標(biāo)方程為 ρcosθ=-2，
故C₂：（x-1）²+（y-2）²=1的極坐標(biāo)方程為：
（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-2）²=1，
化簡可得ρ²-（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直線C₃的極坐標(biāo)方程θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）代入
圓C₂：（x-1）²+（y-2）²=1，
可得ρ²-（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ₁=2$\sqrt{2}$，ρ₂=$\sqrt{2}$，
∴|MN|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{2}$，由于圓C₂的半徑為1，∴C₂M⊥C₂N，
△C₂MN的面積為$\frac{1}{2}$•C₂M•C₂N=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，點的極坐標(biāo)的定義，屬于基礎(chǔ)題．