Question

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC． (1) 求證：OD∥平面PAB (2) 當k＝時，求直線PA與平面PBC所成角的大小 (3) 當k取何值時，點O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：方法一　∵O、D分別為AC、PC的中點，∴OD∥PA． 　　又PA平面PAB，∴OD∥平面PAB． 　　方法二　∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O－xyz(如圖所示)． 　　設AB=a，則A(，0，0)B(0，，0)C(－a，0，0)． 　　設OP=h，則P(0，0，h) 　　∵D為PC有中心， 　　∴=(－，0，h) 　　又=(，0，－h(huán))，∴= 　　∴∥，∴OD∥平面PAB．
(2)	方法一　∵AB⊥BC，OA=OC 　　∴OA=OB=OC 　　又∵OP⊥平面ABC 　　∴PA=PB=PC 　　如圖所示取BC中點E，連結PE，則BC⊥平面POE 　　作OF⊥PE于F，連結DF，則OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．又OD∥PA 　　∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF 　　在Rt△ODF中，sin∠ODF=＝ 　　∴PA與平面PBC所成的角為arcsin 　　方法二　∵k=，即PA=2a， 　　∴h=a．∴=(a，0，－a)． 　　可求得平面PBC的法向量，n=(1，－1，－)， 　　∴cos＜，n＞==． 　　設PA與平面PBC所成的角為θ， 　　則sinθ=｜cos(，n)｜=， 　　∴PA與平面PBC所成的角為arcsin
(3)	方法一　由(2)知，OF⊥平面PBC 　　∴F是O在平面PBC內的射影 　　∵D是PC的中點 　　若點F是△PBC重心，則B、F、D三點共線 　　∴直線OB在平面PBC內的射影為直線BD 　　∵OB⊥PC，∴PC⊥BD 　　∴PB=BC，即k=1 　　反之，當k=1時，三棱錐O－PBC為正三棱錐 　　∴點O在平面PBC內的射影為△PBC的重心 　　方法二　△PBC的重心G(－，．h) 　　∴=(－，，h) 　　∵OG⊥平面PBC，∴⊥ 　　又=(0，a，－h(huán)) 　　∴·=a2－h2=0 　　∴h=a 　　∴PA==a，即k=1 　　反之，當k=1時，三棱錐O－PBC為正三棱錐 　　∴點O在平面PBC內的射影為△PBC的重心 　　點評：第(3)問中，由重心推出k=1，但這時k=1是重心的必要條件，而非充要條件，應注意檢驗．