Question

14．如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=DA=DC=2．
（1）若M、N分別是PD、AB的中點(diǎn)，證明：MN∥平面PBC；
（2）求二面角C-BP-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）欲證MN∥平面PBC，根據(jù)MN?平面MNE，可先證平面MNE∥平面PBC，取CD中點(diǎn)E，連接ME，NE，根據(jù)中位線可知ME∥PC，NE∥BC，又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，滿足平面與平面平行的判定定理，最后根據(jù)性質(zhì)定理可知結(jié)論；
（2）利用面積射影法，求出二面角C-BP-D的大�。�

解答 （1）證明：取CD中點(diǎn)E，連接ME，NE，
由已知M、N分別是PD、AB的中點(diǎn)，
∴ME∥PC，NE∥BC
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PBC，
所以，MN∥平面PBC；
（2）解：作DO⊥PC，則DO⊥平面PBC，△OPB為△DPB在平面中的射影，
因?yàn)椤鱋PB中，PO=$\sqrt{2}$，所以S_△OPB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．
因?yàn)椤鱀PB中，PD=2，BD=2$\sqrt{2}$，所以S_△DPB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$，
所以二面角C-BP-D的余弦值為$\frac{1}{2}$，大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．