Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為S_n，且對于所有自然數(shù)n,a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項.

（1）求出{a_n}的前三項；

（2）求出{a_n}的通項.

Answer 1

（1）,

a₁+2=2 (a₁+2)²=8a₁,

a₁²+4a₁+4=8a₁a₁²-4a₁+4=0,

∴a₁=2a₂=6或a₂=-2（舍）,a₃=10或a₃=-6（舍）.

∴a1=2,a₂=6,a₃=10.

(2)(a_n+2)²=8S_n,

(a_n+1+2)²=8S_n+1.

相減得8a_n+1=(a_n+1+2)²-(a_n+2)²

 -4a_n+1-a_n²-4a_n=0a_n+12-a_n²-4(a_n+1+a_n)=0 (a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n-4)=0.

∵a_n+1+a_n≠0,∴a_n+1-a_n=4.

∴{a_n}是d=4的等差數(shù)列.又a₁=2,

∴a_n=2+(n-1)·4=4n-2.