Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0．
（2）設(shè)常數(shù)b＜-1，且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0，須證兩個方面：①充分性：若a²+b²=0⇒f（x）為奇函數(shù)，②必要性：若f（x）為奇函數(shù)⇒a²+b²=0；
（2）分類討論：①當(dāng)x=0時a取任意實數(shù)不等式恒成立；②當(dāng)0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，再轉(zhuǎn)化為x+＜a＜x-恒成立問題，下面利用函數(shù)g（x）=x+的最值即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：（1）證明：充分性：若a²+b²=0，則a=b=0，
∴f（x）=x|x|對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）為奇函數(shù)，故充分性成立…（2分）
必要性：若f（x）為奇函數(shù)，
則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x-a|，
由f（1）+f（-1）=0，即|1-a|-|a+1|=0，|1-a|=|1+a|得：a=0．
∴a²+b²=0．
故f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0…（5分）
（2）解：由b＜-1＜0，當(dāng)x=0時a取任意實數(shù)不等式恒成立…（6分）
當(dāng)0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立…（8分）
令g（x）=x+在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g（x）_max=g（1）=1+b…（10分）
令h（x）=x-，則h（x）在（0，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)b＜-1時h（x）=x-在0＜x≤1上單調(diào)遞減，
∴a＜h（x）_min=h（1）=1-b．
∴1+b＜a＜1-b…（12分）
點評：本小題主要考查充要條件、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．