Question

已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC＝120°，又PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中點．

1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；

2)求直線PB與直線DE所成的角的余弦值；

3)設二面角A－BE－D的平面角q ，求cosq 的值

Answer 1

答案：
解析：

∵PC⊥平面ABCD，∴以C為原點，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系． 　　∵ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC＝120°，PC＝a，E是PA的中點． 　　∴C(0，0，0)，A(0，a，0)，B(－a，a，0)，D(a，a，0)．P(0，0，a)， 　　∵E是PA的中點，∴E(0，a，a，)．－－－3分 　　1)設AC與BD交于點Q，則Q(0，a，0)，∴＝(0，0，a，)， 　　∵＝2，∴PC⊥平面ABCD，∴QE⊥平面ABCD． 　　平面EBD⊥平面ABCD．－－－3分 　　2)∵·＝(－a，a，－a)·(－a，0，a，)＝－a2． 　　||＝a，||＝a， 　　∴cos＜，＞＝＝－－－－4分 　　3)設平面ABE的法向量為p＝(x，y，z)，可得p＝(－，1，)， 　　又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又＝(0，a，0)， 　　∴取平面BDE的法向量q＝(0，，0)， 　　∴p·q＝，|p|＝，|q|＝． 　　∴cosq ＝．－－－－4分