Question

函數(shù)f（x）=

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x³+x-sinx的定義域為R，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，且a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄＜0，記m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₄）．關于實數(shù)m，下列說法正確的是（　　）

• A、m恒為負數(shù)
• B、m恒為正數(shù)
• C、當d＞0時，m恒為正數(shù)；當d＜0時，m恒為負數(shù)
• D、當d＞0時，m恒為負數(shù)；當d＜0時，m恒為正數(shù)

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由函數(shù)的解析式可得f（x）是奇函數(shù)，由它的導數(shù)f′（x）≥0，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．分d＞0和d＜0以及d=0三種情況，分別利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₄）＜0，f（a₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₂）＜0，…，從而得到 m＜0，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

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x³+x-sinx的定義域為R，是奇函數(shù)，且它的導數(shù)f′（x）=x²+1-cosx≥0，
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，當d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，由a₁+a₂₀₁₄＜0，
可得 a₂₀₁₄＜-a₁，∴f（a₂₀₁₄）＜f（-a₁）=-f（a₁），∴f（a₁）+f（a₂₀₁₄）＜0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₂）＜0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₄）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₄）+f（a₂）+f（a₂₀₁₃）+f（a₃）+f（a₂₀₁₂）+…+f（a₁₀₀₇）+f（a₁₀₀₈）＜0．
當d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，同理求得 m＜0．
當d=0時，該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，每一項都小于，故有f（a_n）＜0，
故m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₄）＜0，
故選A．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性的應用，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．