Question

（2013•蘭州一模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e為常數(shù)，e=2.71828），且這兩函數(shù)的圖象有公共點，并在該公共點處的切線相同．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]時，證明：2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，利用這兩函數(shù)的圖象有公共點，并在該公共點處的切線相同，建立方程組，即可求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）要證x∈（0，1]時，x²+2lnx≤4x-3恒成立，即證x∈（0，1]時，x²-4x+3+2lnx≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)數(shù)可得：f'（x）=x+2e，g′（x）=

3e2

x

，
設(shè)f（x）=

1

2

x2+2ex與g（x）=3e²lnx+b的公共點為（x₀，y₀），則有

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0

 …（3分）
解得b=-

e2

2

．…（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知g(x)=3e2lnx-

e2

2

．
所以2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]=x²+2lnx．
∴要證x∈（0，1]時，x²+2lnx≤4x-3恒成立，
即證x∈（0，1]時，x²-4x+3+2lnx≤0恒成立．…（8分）
設(shè)h（x）=x²-4x+3+2lnx（0＜x≤1），則h′(x)=

2(x-1)2

x

．
∵x∈（0，1]，∴h′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時取等號）．
∴h（x）=x²-4x+3+2lnx在x∈（0，1]上為增函數(shù)．…（11分）
∴h（x）_max=h（1）=0．
∴x∈（0，1]時，2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．…（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．