Question

設函數f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是從-1，0，1，2四數中任取一個，b是從1，2，3，4，5五數中任取一個，那么f（x）＞b恒成立的概率為（　�。�

A． 1 2

B． 7 20

C． 2 5

D． 9 20

Answer 1

當a=-1時，函數f（x）=ax+

x

x-1

=-x+

1

x-1

=-x+

x-1+1

x-1

=1-x+

1

x-1

，由于函數f（x）的導數f′（x）=-1-

1

(x-1)2

＜0，
故函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，f（2）=0，故當x＞2時，f（x）＜0．
而b是從1，2，3，4，5五數中任取一個，顯然不滿足當x＞1時，f（x）＞b恒成立．
∵函數f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），當a＞0時，
∴f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+1+

1

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=(

a

+1)2，
當且僅當a（x-1）+

1

x-1

時，等號成立，故f（x）min=(

a

+1)2．
于是f（x）＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b，
當a=0時，函數f（x）=1+

1

x-1

＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
設事件A：“f（x）＞b恒成立”，則基本事件總數（a，b）為20個：
（-1，1）、（-1，2）、（-1，3）、（-1，4）、（-1，5）、
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9個．
故f（x）＞b恒成立的概率為

9

20

，
故選D．