Question

對于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，則稱x為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)不為零且不為1，滿足，求證：；
（3）設(shè)，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè) ，由條件求得，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，求得函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由條件可得a_n=-n，要證的不等式即為，令，再令，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（t）單調(diào)遞增，得到①，
令，，當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，h（t）單調(diào)遞增，可得即②，由①②證得不等式成立．
（3）由（2）可知，，在中，令n=1，2，3，4，…，2011，并將各式相加，化簡證得結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè) ，可得 （1-b）x²+cx+a=0，（b≠1）．
由于函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，故0，2是方程（1-b）x²+cx+a=0的兩個(gè)根，
∴，解得 ，所以．
由 可得-1＜c＜3．
又b，c∈N^*，所以c=2，b=2，所以，
于是，
令f′（x）＞0，求得 x＜0，或x＞2，求得f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）．
令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，或2＞x＞1，求得f（x）的增區(qū)間為（0，1），（1，2）． （4分）
（2）由已知可得，當(dāng)n≥2時(shí)，．
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，所以a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1．
當(dāng)n=1時(shí)，，若a_n=-a_n-1，則a₂=1與a_n≠1矛盾，
所以a_n-a_n-1=-1，從而a_n=-n，于是要證的不等式即為，于是我們可以考慮證明不等式：，令，則t＞1，．
再令，由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0，
所以當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g（t）單調(diào)遞增，所以g（t）＞g（1）=0，于是t-1＞lnt，即①．
令，，當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，h（t）單調(diào)遞增，所以h（t）＞h（1）=0，
于是，即②．
由①②可知，所以，
即原不等式成立．  （9分）
（3）由（2）可知，，在中，
令n=1，2，3，4，…，2011，并將各式相加得，
即T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．