Question

如果a＞0，b＞0，求證：a³+b³≥a²b+ab².

Answer 1

證法一：(用分析法)

為了證明a³+b³≥a²b+ab²，

只要證明(a+b)(a²－ab+b²)≥ab(a+b).

∵a＞0，b＞0，有a+b＞0.

只要證明a²－ab+b²≥ab.

只要證明(a－b)²≥0，顯然(a－b)²≥0成立.

∴a³+b³≥a²b+ab².

證法二：(用綜合法)

∵(a－b)²≥0，∴a²－ab+b²≥ab.

又a＞0，b＞0，有a+b＞0.

∴(a+b)(a²－ab+b²)≥ab(a+b).

∴a³+b³≥a²b+ab².

證法三：(用比較法)

∵a³+b³－a²b－ab²=a²(a－b)+b²(b－a)=(a－b)(a²－b²)=(a+b)(a－b)²≥0，

∴a³+b³≥a²b+ab².

點(diǎn)評：運(yùn)用分析法證明入手易，但證明過程書寫困難，常用分析法探索證題途徑，用綜合法書寫證明過程.