Question

8．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$．若$\overrightarrow{BF}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值為12．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$．可得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$，由于B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，因此存在實(shí)數(shù)m使得$\overrightarrow{BF}$=m$\overrightarrow{BD}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=-（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴存在實(shí)數(shù)m使得$\overrightarrow{BF}$=m$\overrightarrow{BD}$，
∴3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=m（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=m$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=m}\\{-k=-4m}\end{array}\right.$，
解得k=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線(xiàn)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．