Question

14．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₂₀₁₄＞0，S₂₀₁₅＜0，則$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…$\frac{{S}_{2014}}{{a}_{2014}}$中最大的是（　�。�

• A． $\frac{S_1}{a_1}$
• B． $\frac{{{S_{1007}}}}{{{a_{1007}}}}$
• C． $\frac{{S}_{1008}}{{a}_{1008}}$
• D． $\frac{{S}_{2014}}{{a}_{2014}}$

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₂₀₁₄＞0，S₂₀₁₅＜0，利用等差數(shù)列的前n項和公式可得：d＜0，a₁＞0，a₁₀₀₈＜0，a₁₀₀₇＞0．于是當(dāng)n≤1007時，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＞0；當(dāng)n＞1007時，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜0．當(dāng)n≤1007時，d＜0，a₁＞0，a_n＞0，S_n在增大，而a_n在減小，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₂₀₁₄＞0，S₂₀₁₅＜0，
∴2014a₁+$\frac{2014×2013}{2}d$＞0，2015a₁+$\frac{2015×2014}{2}d$＜0，
化為2a₁+2013d＞0，a₁+1007d＜0，
∴d＜0，a₁＞0，
a₁₀₀₈＜0，a₁₀₀₇+a₁₀₀₈＞0，
∴a₁₀₀₇＞0．
∴當(dāng)n≤1007時，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＞0；當(dāng)n＞1007時，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜0．
由于當(dāng)n≤1007時，d＜0，a₁＞0，a_n＞0，
∴S_n在增大，而a_n在減�。�
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$單調(diào)遞增，
因此$\frac{{S}_{1007}}{{a}_{1007}}$最大．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．