Question

6．某市教育局邀請教育專家深入該市多所中小學，開展聽課、訪談及隨堂檢測等活動．他們把收集到的180節(jié)課分為三類課堂教學模式：教師主講的為A模式，少數(shù)學生參與的為B模式，多數(shù)學生參與的為C模式．A、B、C三類課的節(jié)數(shù)比例為3：2：1
（Ⅰ）為便于研究分析，教育專家將A模式稱為傳統(tǒng)課堂模式，B、C統(tǒng)稱為新課堂模式，根據(jù)隨堂檢測結(jié)果，把課堂教學效率分為高效和非高效，根據(jù)檢測結(jié)果統(tǒng)計得到如下2×2列聯(lián)表（單位：節(jié)）

	高效	非高效	統(tǒng)計
新課堂模式	60	30	90
傳統(tǒng)課堂模式	40	50	90
統(tǒng)計	100	80	180

請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)回答：有沒有99%的把握認為課堂教學效率與教學模式有關？并說明理由．
（Ⅱ）教育專家采用分層抽樣的方法從收集到的180節(jié)課中選出18節(jié)課作為樣本進行研究，并從樣本的B模式和C模式課堂中隨機抽取3節(jié)課．
①求至少有一節(jié)為C模式課堂的概率；
②設隨機抽取的3節(jié)課中含有C模式課堂的節(jié)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
參考臨界值表：

P（K2≧K0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n =a +b +c +d

Answer 1

分析 （Ⅰ）由列聯(lián)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，直接計算隨機變量K²的觀測值，然后推出結(jié)果即可．
（Ⅱ）①從樣本中的B、C模式課堂中隨機抽取3節(jié)課，故該實驗為古典概型．求解概率即可．
②X的所有取值為0，1，2，3．求出概率，然后列出分布列計算期望．

解答 解：（Ⅰ）由列聯(lián)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算隨機變量K²的觀測值為：$k=\frac{{180{{（60×50-40×30）}^2}}}{（60+40）（30+50）（60+30）（40+50）}=9＞6.635$
由臨界值表P（k²≥6.635）≈0.010，
故有99%的把握認為課堂效率與教學模式有關 …．（3分）
（Ⅱ）①從樣本中的B、C模式課堂中隨機抽取3節(jié)課，故該實驗為古典概型．
事件M表示“抽取的3節(jié)課中至少有一節(jié)課為C模式課堂”．
則$P（M）=\frac{C_9^3-C_6^3}{C_9^3}=\frac{16}{21}$…．（6分）
②X的所有取值為0，1，2，3.$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{5}{21}$，$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{15}{28}$$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{3}{14}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

…．（10分）
∴$E（X）=0×\frac{5}{21}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{1}{84}=1$…．（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，對立檢驗的應用，考查計算能力．