Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n，求證：數(shù)列{a_n+2}為等比數(shù)列并求a_n．

Answer 1

分析 通過(guò)S_n=2a_n-2n與S_n+1=2a_n+1-2（n+1）作差、整理可知a_n+1=2a_n+2，從而a_n+1+2=2（a_n+2），進(jìn)而數(shù)列{a_n+2}是以4為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：∵S_n=2a_n-2n，
∴S_n+1=2a_n+1-2（n+1），
兩式相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，
∴a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴a₁+2=2+2=4，
∴數(shù)列{a_n+2}是以4為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．