Question

15．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|ax-5|（0＜a＜5）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥9的解集；
（2）如果函數(shù)y=f（x）的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，分類(lèi)討論求不等式f（x）≥9的解集；
（2）f（x）的最小值在$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{a}$時(shí)取得，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤2}\\{f（x）_{min}=f（\frac{1}{2}）=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜a≤5}\\{f（x）_{min}=f（\frac{5}{a}）=4}\end{array}\right.$，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+|x-5|，
x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式f（x）≥9等價(jià)于6-3x≥9，∴x≤-1，此時(shí)x≤-1；
$\frac{1}{2}≤$x≤5時(shí)，不等式f（x）≥9等價(jià)于x+4≥9，∴x≥5，此時(shí)x=5；
x＞5時(shí)，不等式f（x）≥9等價(jià)于3x-6≥9，∴x＞5，此時(shí)x＞5；
綜上所述，不等式的解集為{x|x≤-1或x＞5}；
（2）∵0＜a＜5，
∴x＜$\frac{1}{2}$，f（x）=-（a+2）x+6單調(diào)遞減；x＞$\frac{5}{a}$，f（x）=（a+2）x-6單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值在$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{a}$時(shí)取得，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤2}\\{f（x）_{min}=f（\frac{1}{2}）=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜a≤5}\\{f（x）_{min}=f（\frac{5}{a}）=4}\end{array}\right.$，解得a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查函數(shù)的最小值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．