Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，n∈N^*．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a_n=32，求項(xiàng)數(shù)n的值；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是常數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由數(shù)列{b_n}是常數(shù)列，可得b₁=a₂-a₁=1．利用a_n+1+（-1）ⁿa_n=1，n∈N^*．可得a_2k+1+a_2k=1，a_2k-a_2k-1=1，k∈N^*．a(chǎn)_2k+1=-a_2k-1，a_2k+a_2k+2=2．分組求和即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=32=${a}_{1}（\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}）^{n-1}$=2^n-1，
解得n=6．
（II）∵數(shù)列{b_n}是常數(shù)列，
b₁=a₂-a₁=1，
∴a_n+1+（-1）ⁿa_n=1，n∈N^*．
∴a_2k+1+a_2k=1，a_2k-a_2k-1=1，k∈N^*．
∴a_2k+1=-a_2k-1，a_2k+a_2k+2=2．
∴數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆=（a₁+a₃）+（a₅+a₇）+…+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）
=0+2×504=1008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法、分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．