Question

已知f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若f(x)=log2

1-x

1+x

有意義，則

1-x

1+x

＞0，解得定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱．
又因為f(-x)=log2

1+x

1-x

=-log2

1-x

1+x

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上單調(diào)遞減．
證明：任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=log2

1-x1

1+x1

-log2

1-x2

1+x2

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
因為x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，所以

1+x2

1+x1

＞1，

1-x1

1-x2

＞1，

(1+x2)(1-x1)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．