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函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x成立,且f(1)=0.

(1)求f(0)的值;

(2)當f(x)+2＜logax,x∈(0,)恒成立時,求a的取值范圍.

解:(1)因為f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,

令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.又因為f(1)=0,所以f(0)=-2.

(2)由(1)知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x,即f(x)=x2+x-2.

任取x∈(0,),f(x)+2＜logax恒成立,即為任取x∈(0,)時,f(x)-logax+2＜0恒成立,

在x∈(0,)時,f(x)為增函數(shù),-2＜f(x)＜.

顯然a＞1時,任取x∈(0,),logax∈(-∞,-loga2),上式恒成立的不等式不可能.

當0＜a＜1時,任取x∈(0,),logax∈(-loga2,+∞),即任取x∈(0,)時,f(x)-logax+2＜+loga2.

因為任取x∈(0,),f(x)-logax+2＜0恒成立,

所以所以≤a＜1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在正常數(shù)M使得|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f（x）=x2；②f(x)=
x
x2+x+1
；③f(x)=
2
(sinx+cosx)；④f（x）=2sinx，其中是F函數(shù)的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=0；                ②f（x）=2x；                    ③f（x）=
xx2+x+1
；
你認為上述三個函數(shù)中，哪幾個是f函數(shù)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有一學生對函數(shù)f（x）=xcosx進行了研究，得到如下五條結論：①函數(shù)f（x）在（一π，0）上單調遞增，在（0，π）上單調遞減；
②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立；
③函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心是(
π2
，0)；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；
⑤函數(shù)y=f（x）的圖象與直線．y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；其中正確結論的序號是
②⑤
②⑤
．（寫出所有你認為正確的結論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若二次函數(shù)f(x)=a
x
2
 
+bx+c(a≠0)的圖象和直線y=x無交點，現(xiàn)有下列結論：
①方程f[f（x）]=x一定沒有實數(shù)根；
②若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數(shù)x都成立；
③若a＜0，則必存存在實數(shù)x0，使f[f（x0）]＞x0；
④若a+b+c=0，則不等式f[f（x）]＜x對一切實數(shù)都成立；
⑤函數(shù)g(x)=a
x
2
 
-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點．
其中正確的結論是
①②④⑤
①②④⑤
（寫出所有正確結論的編號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)①f（x）=x2，②f（x）=
x2
x2-x+1
③f（x）=x（1-2x），④f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對一切x1x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．其中是F函數(shù)的序號為（　�。�

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