Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-2x²+m²x+5（m∈R）且f（x）在x=1處取得極小值．
（1）求m的值．
（2）若g（x）=f（x）-λ（x²+2x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=mx³-2x²+m²x+5（m∈R）且f（x）在x=1處取得極小值，可得f'（1）=0，解方程求出m值，代入驗(yàn)證是否滿(mǎn)足條件，即可得到結(jié)論；
（2）若g（x）=f（x）-λ（x²+2x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，則g′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，進(jìn)而構(gòu)造不等式可得結(jié)論．
解答：解：（1）f'（x）=3mx²-4x+m²
∵f（x）在x=1處取得極小值
∴f'（1）=m²+3m-4=0得m=1或m=-4
當(dāng)m=1時(shí)   
f'（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1）
∴f（x）在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)
∴f（x）在x=1處取得極小值
當(dāng)m=-4時(shí) f'（x）=-12x²-4x+16=-4（x-1）（3x+4）
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù) 在上是增函數(shù)
∴f（x）在x=1處取得極大值極大值，不符題意
∴m=1（6分）
（2）∵m=1
∴g（x）=x³-2x²+x+5-λ（x²+2x）
∴g'（x）=3x²-4x+1-λ（2x+2）
∵g（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴不等式3x²-4x+1-λ（2x+2）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立
即恒成立
令當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
∴（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，難度中檔．