Question

已知雙曲線的方程為x²-=1,過雙曲線的右焦點且斜率為k(k＞0)的直線交雙曲線于A、B兩點,且OA⊥OB,求|AB|的長.

Answer 1

思路分析:由弦長公式|AB|=·,但必須先求出k值.

設(shè)直線l的方程,利用OA⊥OB求出k值,即得|AB|的長度.

解:雙曲線x²-=1的右焦點F(2,0).

則過右焦點的直線l的方程為y=k(x-2).

由(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0.

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則

∴k∈R⁺且k≠-.

由韋達定理得x₁+x₂=

又∵,則x₁x₂+y₁y₂=0.

由A、B兩點都在l:y=k(x-2)上,則

y₁·y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)

=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］,

由y₁y₂=-x₁x₂,則(k²+1)x₁x₂-2k²(x₁+x₂)+4k²=0.                                       （2）

將（1）代入（2）中得

(k²+1)·-2k²·+4k²=0.

∴5k²=3.

∴k=±.

又∵k＞0,∴k=.

∴|AB|=·

=

=·==4.

∴|AB|=4.