Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+9x+2，若x=$\frac{1}{2}$是f（x）的一個極值點，且f（x）的圖象在x=1處的切線與直線3x+y-1=0平行．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間
（2）若對任意的x∈[$\frac{1}{4}$，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函數(shù)g（t）=t²+t-2的最值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在x=$\frac{1}{2}$時取得極值得f'（$\frac{1}{2}$）=0，由f（x）的圖象在x=1處的切線與直線3x+y-1=0平行得f′（1）=-3，聯(lián)立方程組可求得a，b，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）求出函數(shù)f（x）的最小值，得到t²-2t-1≤2，求出t的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)g（t）的最值．

解答 （1）∵f（x）=ax³-bx²+9x+2，
∴f'（x）=3ax²-2bx+9，
由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）=0}\\{f′（1）=-3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a-b+9=0}\\{3a-2b+9=-3}\end{array}\right.$，解得a=4，b=12，
∴f（x）=4x³-12x²+9x+2，
∴f'（x）=12x²-24x+9，
令f'（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)f'（x）＞0，即x＜$\frac{1}{2}$，或x＞$\frac{3}{2}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f'（x）＜0，即$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，+∞） 減區(qū)間（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）由（1）函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，2）遞增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)有最小值，即f（$\frac{3}{2}$）=2，
∵對任意的x∈[$\frac{1}{4}$，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，
∴t²-2t-1≤2，
解得-1≤t≤3，
∵g（t）=t²+t-2=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴g（t）在[-1，-$\frac{1}{2}$）上遞減，在（-$\frac{1}{2}$，3]上遞增，
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時有最小值，最小值為-$\frac{9}{4}$，
當(dāng)t=3時有最大值，最大值為10．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，屬中檔題，掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．