Question

【題目】已知雙曲線以、為焦點，且過點

（1）求雙曲線與其漸近線的方程；

（2）是否存在斜率為2的直線與雙曲線右支相交于兩點，且（為坐標原點）.若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）存在，

【解析】

（1）設(shè)出雙曲線C方程，利用定義求得a，進而得b，即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為y＝2x+t，將其代入方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），通過△＞0，及韋達定理求出t的范圍，通過x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直線方程．

（1）設(shè)雙曲線C的方程為，半焦距為c，

則c＝2，，a＝1，

所以b2＝c2﹣a2＝3，

故雙曲線C的方程為．　　　　　　　　　

雙曲線C的漸近線方程為．　　　　　　　

（2）假設(shè)直線存在，設(shè)直線l的方程為y＝2x+t，將其代入方程，

可得x2+4tx+t2+3＝0（*）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（*）的兩個根，

故

又由，可知x1x2+y1y2＝0，

即x1x2+（2x1+t）（2x2+t）＝0，可得，

解得（舍去）

所以存在直線l方程為．